Have an account? Register
LOP 9A
Đăng kí và đăng nhập nha !
Please register or login !

LOP 9A


FORUM OF CLASS 9A - THI TRAN HIGH SCHOOL *** DIỄN ĐÀN CỦA LỚP 9A - THCS THỊ TRẤN ĐẠI TỪ
 
IndexTrợ giúpTìm kiếmThành viênNhómĐăng kýĐăng Nhập
Forum 4ALL
  • Forum 4ALL
Admin nhắn với»Tất cả thành viên
gửi vào lúc Fri Jun 14, 2013 7:32 pm ...
:Very Happy
Admin nhắn với»Tất cả thành viên
gửi vào lúc Wed Jun 12, 2013 8:06 pm ...
:Chúc các bạn có một ngày vui vẻ

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Go down
Wed Apr 10, 2013 1:05 pm
avatar

Thành Viên- Admin-
Danh hiệu cá nhânAdministrator

Administrator
Hiện đang:
Post : 56
Point : 15988
Thanked : 194
Chủng tộc : DEVIL
Đồ ăn yêu thích : Bánh mì nướng
Admin
Thú cưng : Sư tử
Huy chương : Huy chương 10
Ứng dụng
Post : 56
Point : 15988
Thanked : 194
Chủng tộc : DEVIL
Đồ ăn yêu thích : Bánh mì nướng
Admin
Thú cưng : Sư tử
Huy chương : Huy chương 10
Bài gửiTiêu đề: PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ
Xem lý lịch thành viên https://sites.google.com/site/nhokkienvippro/

Mọi người cùng nhau xây dựng forum
PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ



Trong chuyên đề này ta sẽ hệ thống lại các dạng toán và các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử và giải một số bài tập về phân tích đa thức thành nhân tử.

Ta sẽ tìm hiểu về các phương pháp sau:
1. Tách một hạng tử thành nhiều hạng tử
2. Thêm, bớt cùng một hạng tử
3. Đặt ẩn phụ
4. Phương pháp hệ số bất định

I. TÁCH MỘT HẠNG TỬ THÀNH NHIỀU HẠNG TỬ:
Định lí bổ sung:
+ Đa thức f(x) có nghiệm hữu tỉ thì có dạng pq trong đó p là ước của hệ số tự do, q là ước dương của hệ số cao nhất
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số bằng 0 thì f(x) có một nhân tử là x–1
+ Nếu f(x) có tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ thì f(x) có một nhân tử là x+1
+ Nếu a là nghiệm nguyên của f(x) và f(1);f(−1) khác 0 thì f(1)a − 1 và f(−1)a + 1 đều là số nguyên. Để nhanh chóng loại trừ nghiệm là ước của hệ số tự do

Ví dụ 1: 3x2–8x+4
Hướng dẫn:
Cách 1: Tách hạng tử thứ 2
3x2–8x+4= 3x2–6x –2x +4=3x(x–2)–2(x–2)=(x–2)(3x–2)
Cách 2: Tách hạng tử thứ nhất:
3x2–8x+4= (4x2–8x +4) −x2=(2x–2)2–x2=(2x–2+x)(2x–2–x)
=(x–2)(3x–2)

Ví dụ 2: x3–x2–4
Hướng dẫn:
Ta nhận thấy nghiệm của f(x) nếu có thì x = ±1;±2;±4, chỉ có f(2)=0 nên x=2 là nghiệm của f(x) nên f(x) có một nhân tử là x–2. Do đó ta tách f(x) thành các nhóm có xuất hiện một nhân tử là x–2
Cách 1:
x3–x2–4= (x3−2x2)+(x2−2x)+(2x−4)
=x2(x−2)+x(x−2)+2(x−2)=(x−2)(x2+x+2)
Cách 2:
x3−x2−4=x3−8−x2+4
=(x3−Cool−(x2−4)=(x−2)(x2+2x+4)−(x−2)(x+2)
=(x−2)[(x2+2x+4)−(x+2)]=(x−2)(x2+x+2)

Ví dụ 3: f(x)= 3x3– 7x2+17x–5
Hướng dẫn:
±1,±5 không là nghiệm của f(x), như vậy f(x) không có nghiệm nguyên. Nên f(x) nếu có nghiệm thì là nghiệm hữu tỉ
Ta nhận thấy x= 13 là nghiệm của f(x) do đó f(x) có một nhân tử là 3x–1. Nên
f(x)= 3x3– 7x2+17x–5=3x3−x2−6x2+2x+15x−5
=(3x3−x2)−(6x2−2x)+(15x−5)
= x2(3x−1)−2x(3x−1)+5(3x−1)=(3x−1)(x2−2x+5)
Vì x2−2x+5=(x2−2x+1)+4=(x−1)2+4>0 với mọi x nên không phân tích được thành nhân tử nữa

Ví dụ 4: x3+5x2+8x +4
Hướng dẫn:
Tổng các hệ số của các hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hệ số của các hạng tử bậc lẻ nên đa thức có một nhân tử là x+1
x3+5x2+8x +4=(x3+x2)+(4x2+4x)+(4x+4)
=x2(x+1)+4x(x+1)+4(x+1)
=(x+1)(x2+4x+4)=(x+1)(x+2)2

Ví dụ 5: f(x)=x5–2x4+3x3–4x2+2
Hướng dẫn:
Tổng các hệ số bằng 0 thì nên đa thức có một nhân tử là x–1, chia f(x) cho (x–1) ta có:
x5–2x4+3x3–4x2+2=(x–1)(x4 −x3 +2x2 −2x −2)
Vì x4 −x3 +2x2 −2x −2 không có nghiệm nguyên cũng không có nghiệm hữu tỉ nên không phân tích được nữa

Ví dụ 6: x4+1997x2+1996x+1997
Hướng dẫn:
x4+1997x2+1996x+1997=(x4+x2+1)+(1996x2+1996x+1996)
= (x2+x +1)(x2−x +1)+1996(x2+x +1)
= (x2+x +1)(x2−x +1+1996)=(x2+x +1)(x2−x +1997)

Ví dụ 7: x2− x−2001.2002
Hướng dẫn:
x2− x−2001.2002=x2− x−2001.(2001+1)
=x2− x–20012−2001=(x2–20012)–(x+2001)=(x+2001)(x–2002)

II. THÊM , BỚT CÙNG MỘT HẠNG TỬ:
1. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện hiệu hai bình phương:

Ví dụ 1: 4x4+81
Hướng dẫn:
4x4+81=4x4 +36x2+81−36x2=(2x2+9)2–36x2
=(2x2+9)2–(6x)2=(2x2+9+6x)(2x2+9–6x)
=(2x2+6x+9)(2x2–6x+9)

Ví dụ 2: x8+98x4+1=
Hướng dẫn:
x8+98x4+1=(x8+2x4+1)+96x4
=(x4+1)2+16x2(x4+1)+64x4−16x2(x4+1)+32x4
=(x4+1+8x2)2 –16x2(x4+1–2x2)
=(x4+8x2 +1)2 −16x2(x2–1)2
=(x4+8x2 +1)2 −(4x3–4x)2
=(x4+4x3+8x2 –4x+1)(x4−4x3+8x2 +4x+1)

2. Thêm, bớt cùng một số hạng tử để xuất hiện nhân tử chung
Ví dụ 1: x7+x2+1
Hướng dẫn:
x7+x2+1=(x7–x) +(x2+x+1)
= x(x6–1)+(x2+x+1)
= x(x3 −1)(x3+1)+(x2+x+1)
=x(x–1)(x2+x+1)(x3+1)+(x2+x+1)
= (x2+x+1)[x(x–1)(x3+1)+1]
=(x2+x+1)(x5– x4 + x2 −x+1)

Ví dụ 2: x7+x5+1
Hướng dẫn:
x7+x5+1=(x7–x)+(x5–x2)+(x2 +x+1)
=x(x3–1)(x3+1)+x2(x3–1)+(x2 +x+1)
=(x2 +x+1)(x–1)(x4+x)+x2(x–1)(x2 +x+1)+(x2 +x+1)
=(x2 +x+1)[(x5–x4+x2–x)+(x3–x2)+1]
=(x2 +x+1)(x5–x4+x3–x+1)

Ghi nhớ:
Các đa thức có dạng x3m+1+x3n+2+1 như: x7+x2+1;x7+x5+1;x8+x4+1;x5+x+1;x8+x+1;… đều có nhân tử chung là x2+x+1

III. ĐẶT ẨN PHỤ:
Ví dụ 1: x(x+4)(x+6)(x+10)+128
Hướng dẫn:
x(x+4)(x+6)(x+10)+128=[x(x+10)][(x+4)(x+6)]+128
= (x2+10x)+(x2+10x +24)+128
Đặt x2+10x+12= y, đa thức có dạng:
(y–12)(y+12)+128=y2–144+128
=y2–16=(y+4)(y–4)
= (x2+10x+Cool(x2 +10x +16)
= (x+2)(x+Cool(x2+10x+Cool

Ví dụ 2: A=x4+6x3+7x2–6x+1
Hướng dẫn:
Giả sử x≠0 ta viết
x4+6x3+7x2–6x+1= x2(x2+6x+7–6x + 1x2)
=x2[(x2+1x2)+6(x−1x)+7]
Đặt x−1x=y thì x2+1x2=y2+2, do đó
A=x2(y2+2+6y+7)=x2(y+3)2 = (xy+3x)2
=[x(x−1x)2+3x]2=(x2+3x–1)2
Chú ý: Ví dụ trên có thể giải bằng cách áp dụng hằng đẳng thức như sau:
A=x4+6x3+7x2–6x+1=x4+(6x3–2x2)+(9x2–6x+1)
= x4+2x2(3x–1)+(3x–1)2 =(x2+3x–1)2

Ví dụ 3: A=(x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2
Hướng dẫn:
A=(x2+y2+z2)(x+y+z)2+(xy+yz+zx)2
=[(x2+y2+z2)+2(xy+yz+zx)](x2+y2+z2)+(xy+yz+zx)2
Đặt x2+y2+z2=a,xy+yz+zx=b ta có
A= a(a+2b)+b2=a2+2ab+b2 =(a+b)2
= (x2+y2+z2+xy+yz+zx)2

Ví dụ 4: B=2(x4+y4+z4)−(x2+y2+z2)2−2(x2
+y2+z2)(x+y+z)2+(x+y+z)4
Hướng dẫn:
Đặt x4+y2+z2=a, x2+y2 +z2=b,x+y+z=c ta có:
B=2a–b2–2bc2+c4
=2a–2b2 +b2−2bc2+c4=2(a–b2)+(b–c2)2
Ta lại có: a–b2= −2(x2y2+y2z2+z2x2) và b–c2=−2(xy+yz+zx) Do đó:
B=−4(x2y2+y2z2+z2x2)+4(xy+yz+zx)2
=−4x2y2−4y2z2−4z2x2+4x2y2+4y2z2+4z2x2+8x2yz+8xy2z+8xyz2
=8xyz(x+y+z)

Ví dụ 5: (a+b+c)3−4(a3+b3+c3)−12abc
Đặt a+b=m,a–b=n thì 4ab=m2–n2
a3+b3=(a+b)[(a–b)2+ab]=m(n2+m2 − n24).
Ta có:
C=(m+c)3–4.m3 + 3mn24−4c3−3c(m2 − n2)
=3(−c3+mc2–mn2+cn2)
=3[c2(m−c)−n2(m−c)]=3(m−c)(c−n)(c+n)
=3(a+b−c)(c+a−b)(c−a+b)

IV. PHƯƠNG PHÁP HỆ SỐ BẤT ĐỊNH:
Ví dụ 1: x4−6x3+12x2−14x+3
Hướng dẫn:
Các số ±1, ±3 không là nghiệm của đa thức, đa thức không có nghiệm nguyên củng không có nghiệm hữu tỉ.
Như vậy nếu đa thức phân tích được thành nhân tử thì phải có dạng
(x2+ax+b)(x2+cx+d)=x4+(a+c)x3+(ac+b+d)x2+(ad+bc)x+bd
đồng nhất đa thức này với đa thức đã cho ta có:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a+c= −6 ac+b+d=12 ad+bc= −14 bd=3
Xét bd=3 với b,d∈Z,b∈{±1,±3}
Với b=3 thì d=1 hệ điều kiện trên trở thành:
⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a+c= −6 ac= −8 a+3c= −14 bd=3 ⇒{2c= −8 ac=8 ⇒{c= −4 a= −2
Vậy: x4−6x3+12x2−14x+3= (x2−2x+3)(x2−4x +1)

Ví dụ 2: 2x4−3x3−7x2+6x+8
Hướng dẫn:
Đa thức có 1 nghiệm là x=2 nên có thừa số là x–2 do đó ta có:
2x4−3x3−7x2+6x+8=(x−2)(2x3+ax2+bx+c)
= 2x4+(a−4)x3+(b−2a)x2+(c−2b)x−2c
⇒ ⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a−4= −3 b−2a= −7 c−2b=6 −2c=8 ⇒⎧⎩⎨a=1 b=−5 c= −4
Suy ra: 2x4−3x3−7x2+6x+8=(x−2)(2x3+x2−5x −4)
Ta lại có 2x3+x2−5x −4 là đa thức có tổng hệ số của các hạng tử bậc lẻ và bậc chẵn bằng nhau nên có 1 nhân tử là x+1
Nên 2x3+x2−5x −4=(x+1)(2x2 −x−4)
Vậy: 2x4−3x3−7x2+6x+8=(x−2)(x+1)(2x2 −x−4)

Ví dụ 3: 12x2+5x−12y2+12y−10xy−3
Hướng dẫn:
12x2+5x−12y2+12y−10xy−3=(ax+by+3)(cx+dy −1)
= acx2 +(3c−a)x +bdy2+(3d−b)y+(bc+ad)xy–3
⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪ac=12 bc+ad= −10 3c−a=5 bd= −12 3d−b=12 ⇒⎧⎩⎨⎪⎪⎪⎪a=4 c=3 b= −6 d=2
⇒ 12x2+5x−12y2+12y−10xy−3=(4x−6y+3)(3x+2y −1)

Bài tập tự giải
Phân tích các đa thức sau thành nhân tử:
1) x3−7x+6
2) x3−9x2+6x+16
3) x3−6x2−x+30
4) 2x3–x2+5x+3
5) 27x3−27x2+18x–4
6) x2+2xy+y2 −x−y–12
7) (x+2)(x+3)(x+4)(x+5)–24
Cool 4x4−32x2+1
9) 3(x4+x2+1)−(x2+x+1)2
10) 64x4+y4
11) a6+a4+a2b2+b4–b6
12) x3+3xy+y3–1
13) 4x4+4x3+5x2+2x+1
14) x8+x+1
15) x8+3x4+4
16) 3x2+22xy+11x+37y+7y2+10
17) x4−8x+63
Tài Sản của Admin




Share

Tài Sản của Admin
Chữ kí của Admin





Trả Lời Nhanh

PHÂN TÍCH ĐA THỨC THÀNH NHÂN TỬ

Xem chủ đề cũ hơn Xem chủ đề mới hơn Về Đầu Trang
Trang 1 trong tổng số 1 trang

Bài viết mới cùng chuyên mục

Bài viết liên quan

*Không dùng những ngôn từ thiếu lịch sự.*
* Bài viết sưu tầm nên ghi rõ nguồn.*
* Tránh spam nhảm không liên quan đến chủ đề.*
Yêu cầu viết tiếng Việt có dấu.

Permissions in this forum:Bạn không có quyền trả lời bài viết
LOP 9A :: TOÁN HỌC-